近世代数（一）——初步

教材、教程

Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane，《A Survey of Modern Algebra》；中文版：《近世代数概论》，王连祥等译。

整数和环

交换环 $\Leftrightarrow$ 满足八条共设
整环 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 满足八条共设，且满足消去律
1. 消去律：若 $c$ 非零元，且 $ca=cb$ ，则 $a=b$ 。
2. 在交换环中，乘法消去律 $\Leftrightarrow$ 若 $ab=0$ ，则 $a=0$ 或 $b=0$ ；也就是说，非零因子之积不为零。
良序原则 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 数学归纳法 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 最小反例法
1. 良序原则：每个非空的自然数集合都存在一个最小元素。
2. 数学归纳法：若 $P(1)$ 为真，且对于任意的k，由 $P(k)$ 为真可推出 $P(k+1)$ 也为真，则 $P(n)$ 对任意自然数都为真。
3. 最小反例法：假设 $P(n)$ 对任意自然数都为真。反过来，若这个假设不成立，那么使它不成立的自然数集合 $S$ 比如非空，由良序原则， $S$ 里必然存在一个最小反例 $m$ 。若 $m-1$ 、 $m-2$ 等正例推出m也是正例 $\Rightarrow$ 矛盾 $\Rightarrow$ $S$ 为空 $\Rightarrow$ $P(n)$ 对任意自然数都为真。
数论基础
1. 两数互素 $\Leftrightarrow$ $gcd(a,b)=1$ 。特别地， $gcd(0,n) = n$ ，故只有 $\pm1$ 与 $0$ 互素，并且显而易见 $gcd(0,0) = 0$ 。
2. $gcd(a.b) = sa + tb$ 不多赘述。
3. $lcm(a,b) \cdot gcd(a,b)=|ab|$ 即 $lcm(a,b) = \frac{ab}{gcd(a,b)}$ 。
4. 单位：在整环 $D$ $D$ 中，1的因子称为 $D$ $D$ 的单位或可逆元素。
  1. $\mathbb{Z}$ 中仅有的单位是 $\pm1$ 。
  2. $\mathbb{Z}_n$ 中，凡是与 $n$ 互素的数，都是单位。
5. 加法与减法下的整数集合的封闭性：该集合要么只有0元素，要么由一个最小正整数和它的所有倍数组成。
6. 同余
  1. 同余式的加减法 和乘法都是良定义的。
  2. 除法需要除数 $c$ $c$ 是单位元，即 $c$ $c$ 与 $a$ $a$ 互素。命题形式：若 $ac \equiv bc \pmod n$ $a c \equiv b c (mod n)$ ，且满足上述条件，则可以推出 $a \equiv b \pmod n$ $a \equiv b (mod n)$ 。
    - 另外还有一种形式：若 $ad \equiv bd \pmod {md}$ ，那么 $a \equiv b \pmod {m}$ 。
  3. 一次同余式：如果 $c$ $c$ 与 $m$ $m$ 互素，那么同余式 $cx \equiv b \pmod m$ $c x \equiv b (mod m)$ 有模 $m$ $m$ 的唯一解。
    - 唯一解为 $x \equiv bc^{-1} \pmod m$ 。
    - 若 $gcd(c,m) = d \neq 1$ ，若 $d \nmid b$ 那么无解，因为需要 $m \mid cx-b$ ， $c$ 里有的因子 $b$ 里也一定要有；若 $d \mid b$ ，同余式同除以 $d$ ，转化为互素的情形。
    - 故一次同余式有解 $\Leftrightarrow$ $gcd(c,m) \mid b$ 。
  4. 注意： 当我们把一个同余式的结果代入一个普通的代数式时，不能直接替换，必须使用同余式的定义，即引入一个整数倍的模数。因为模下同余与相等不是一回事。
  5. 费马小定理：若 $p$ $p$ 是素数， $a$ $a$ 是整数，那么 $a^{p} \equiv a \pmod p$ $a^{p} \equiv a (mod p)$ 。
    - 若还有 $gcd(a,p) = 1$ ，那么 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 。
环 $\mathbb{Z}_n$ ，或者写作 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $Z / n Z$ ：
- 在加法和乘法之下，对于任意模数 $n \geq 2$ ，它的剩余类构成一个交换环。
- 它是整环 $\Leftrightarrow$ $n$ 是素数。**注：**这很好理解，如果 $n$ 不是素数，那么必然有非平凡的因子分解，这俩因子在环里，他俩的乘积为0。
等价关系：
1. 自反性： $a R a$ 。
2. 对称性： $a R b$ 则 $b R a$ 。
3. 传递性： $a R b$ 且 $b R c$ 则 $a R c$ 。
交换环上的同构：两个交换环 $R$ 和 $R^{'}$ 同构意味着， $R$ 的元素 $a$ 和 $R^{'}$ 的元素 $a^{'}$ 一一对应 $a$ ↔ $a{'}$ ，并对所有元素 $a$ 和 $b$ 满足条件 $(a+b)=a^{'}+b^{'}$ ， $(ab)=a^{'}b^{'}$ 。同构的另一个法则是： $0^{'} = 0$ ， $1^{'} = 1$ ， $(-a)^{'}=-(a)^{'}$ 。
交换环上的自同构：一个交换环与它自身同构，这是一种对称性。例，整环 $\mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ 上的非平凡对应 $m+n\sqrt{2} \harr m-n\sqrt{2}$ 下，整环 $\mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ 与它自身同构。

有理数和域

域：在交换环的基础上，满足任何方程 $ax=b(a \neq 0)$ $a x = b (a \neq = 0)$ ，都有解。
- 定义：域是一个交换环，且满足任何非零元 $a$ 都有 $a^{-1}$ ，即 $a$ 有乘法逆元。
- 性质：
  1. 域是整环，且任何整环都能按照唯一的最小路径扩张成域。
  2. 任何域里，存在除零外的唯一确定的除法。
域的子集包含零元素和单位元素，并且在加法和乘法之下封闭，若其中每个元素都有乘法逆元，则该子集是一个域。